2.2.1.1 Исходные уравнения

Следующий: 2.2.1.2 Уравнения для численного Вверх: 2.2.1 Приближение тонкого слоя Предыдущий: 2.2.1 Приближение тонкого слоя

2.2.1.1 Исходные уравнения

Для расчета эволюции расширяющихся оболочек на адиабатической и радиационной стадиях с успехом применяется приближение тонкого слоя [92,79,84,40]. Оно основано на двух главных упрощениях:

Считается, что весь нагребаемый газ сосредоточен в тонкой оболочке непосредственно за фронтом ударной волны.
Давление внутри полости, охваченной ударной волной, считается однородным.

Второе упрощение связано с тем, что температура газа и скорость звука внутри оболочки высока и поэтому любая неоднородность внутри остатка быстро ``рассасывается''.

Уравнения, описывающие эволюцию оболочки, удобнее записывать в лагранжевых координатах. Вся оболочка разбивается на лагранжевых элементов. Для каждого из них записываются законы сохранения массы и импульса [80,94]:

$\begin{displaymath} \frac{{\rm d}\mu}{{\rm d}t} = \rho(x,y,z)\,[{\bf D}-{\bf V}(x,y,z)]{\bf n} \,{\rm d} \Sigma, \end{displaymath}$

(2.1)

$\begin{displaymath} \frac{{\rm d}(\mu{\bf U})}{{\rm d}t} = \Delta {\rm P}\,{\bf... ...\rm d}\mu}{{\rm d}t} \,{\bf V}(x,y,z) + \mu \,{\bf g}(x,y,z), \end{displaymath}$

(2.2)

где $\mu=\sigma \,{\rm d} \Sigma$ -- масса, $\sigma$ -- поверхностная плотность, $\,{\rm d} \Sigma$ -- площадь лагранжевого элемента поверхности, $\rho(x,y,z)$ -- плотность невозмущенного газа, D -- скорость фронта ударной волны, ${\bf V}(x,y,z)$ -- поле скоростей окружающего газа, n -- единичный вектор нормали к поверхности фронта ударной волны, U -- скорость газа за фронтом, $\Delta {\rm P}={\rm P}_{in}-{\rm P}_{ext}$ -- разность давлений внутри и снаружи оболочки, ${\bf g}(x,y,z)$ -- напряженность внешнего гравитационного поля. Изменение импульса лагранжевого элемента связано с работой сил давления (первое слагаемое в (2.2)), импульсом ``налипающего'' газа (второе слагаемое), и работой, выполняемой против сил гравитации. Чтобы связать уравнения (2.1) и (2.2), необходимо задать зависимость U от D. На радиационной стадии обычно используется следующая зависимость [79,84]:

$\begin{displaymath} {\bf U} = {\bf D}. \end{displaymath}$

(2.3)

Система уравнений (2.1)-(2.3) дополняется уравнением, выражающим закон сохранения энергии для всей оболочки [80,94]:

$\begin{displaymath} \frac{{\rm d}E_t}{{\rm d}t} = L(t) - \int\limits_{\;\, \Sigma}\!\!\!\! \int \!{\rm P}_{in} ({\bf Un}) \, \,{\rm d} \Sigma. \end{displaymath}$

(2.4)

Здесь -- тепловая энергия остатка (поскольку сама оболочка имеет низкую температуру, можно считать равной тепловой энергии горячего газа, находящегося внутри полости), -- мощность внутреннего источника энергии. Маккрэй и Кафатос [45] показали, что приток энергии в полость в результате последовательных дискретных вспышек сверхновых можно считать квазинепрерывным (ф. (1.3) на с. ). Уравнение (2.4) показывает, что тепловая энергия возмущенного газа определяется внутренним источником энергии с мощностью и работой, совершаемой находящимся внутри полости горячим газом над холодной плотной оболочкой. Считается, что оболочка уже находится на радиационной стадии, поэтому в уравнении (2.4) не учитывается тепловая энергия ``налипающего'' газа, так как она быстро излучается с фронта внешней ударной волны.

Чтобы полностью замкнуть систему уравнений, необходимо написать выражение для давления газа внутри полости ${\rm P}_{in}$ . Это легко сделать для идеального газа:

$\begin{displaymath} {\rm P}_{in} = nkT, \end{displaymath}$

(2.5)

$\begin{displaymath} E_t = \frac{1}{\gamma -1} NkT, \end{displaymath}$

(2.6)

где $\gamma$ -- показатель адиабаты (в случае одноатомного газа $\gamma=\frac{5}{3}$ ). Учитывая, что $N=n\Omega$ , где $\Omega$ -- объем, занимаемый газом, запишем окончательно:

$\begin{displaymath} {\rm P}_{in} = (\gamma -1)\, \frac{E_t}{\Omega}. \end{displaymath}$

(2.7)

Итак, уравнения (2.1), (2.2), (2.3) (для каждого лагранжевого элемента), (2.4) и (2.7) (для всей оболочки) составляют замкнутую систему уравнений, описывающих эволюцию оболочки на радиационной стадии в приближении тонкого слоя.

Sergey Mashchenko 2000-10-25