Для расчета эволюции расширяющихся оболочек на адиабатической и радиационной стадиях с успехом применяется приближение тонкого слоя [92,79,84,40]. Оно основано на двух главных упрощениях:
Второе упрощение связано с тем, что температура газа и скорость звука внутри оболочки высока и поэтому любая неоднородность внутри остатка быстро ``рассасывается''.
Уравнения, описывающие эволюцию оболочки, удобнее записывать
в лагранжевых координатах. Вся оболочка разбивается на
лагранжевых элементов. Для каждого из них записываются законы
сохранения массы и импульса [80,94]:
где
-- масса,
-- поверхностная плотность,
-- площадь
лагранжевого элемента поверхности,
-- плотность
невозмущенного газа, D -- скорость фронта ударной
волны,
-- поле скоростей окружающего газа,
n -- единичный вектор нормали к поверхности фронта
ударной волны, U -- скорость газа за фронтом,
-- разность давлений
внутри и снаружи оболочки,
-- напряженность
внешнего гравитационного поля. Изменение импульса лагранжевого
элемента связано с работой сил давления (первое слагаемое
в (2.2)), импульсом ``налипающего'' газа (второе
слагаемое), и работой, выполняемой против сил гравитации.
Чтобы связать уравнения (2.1) и (2.2), необходимо
задать зависимость U от D. На радиационной стадии
обычно используется следующая зависимость [79,84]:
Система уравнений (2.1)-(2.3) дополняется уравнением, выражающим закон сохранения энергии для всей оболочки [80,94]:
Здесь -- тепловая энергия остатка (поскольку
сама оболочка имеет низкую температуру,
можно считать
равной тепловой энергии горячего газа, находящегося внутри
полости),
-- мощность внутреннего источника энергии.
Маккрэй и Кафатос [45] показали, что приток энергии в
полость в результате последовательных дискретных вспышек
сверхновых можно считать квазинепрерывным (ф. (1.3) на
с.
). Уравнение (2.4) показывает, что
тепловая энергия возмущенного газа определяется внутренним
источником энергии с мощностью
и работой, совершаемой
находящимся внутри полости горячим газом над холодной плотной
оболочкой. Считается, что оболочка уже находится на
радиационной стадии, поэтому в уравнении (2.4) не
учитывается тепловая энергия ``налипающего'' газа, так как она
быстро излучается с фронта внешней ударной волны.
Чтобы полностью замкнуть систему уравнений, необходимо
написать выражение для давления газа внутри полости . Это легко сделать для идеального газа:
где -- показатель адиабаты (в случае
одноатомного газа
). Учитывая, что
, где
-- объем, занимаемый газом, запишем
окончательно:
Итак, уравнения (2.1), (2.2), (2.3) (для каждого лагранжевого элемента), (2.4) и (2.7) (для всей оболочки) составляют замкнутую систему уравнений, описывающих эволюцию оболочки на радиационной стадии в приближении тонкого слоя.